Unitary representations of real reductive groups

— We present an algorithm for computing the irreducible unitary representations of a real reductive group G. The Langlands classification, as formulated by Knapp and Zuckerman, exhibits any representation with an invariant Hermitian form as a deformation of a unitary representation from the Plancherel formula. The behavior of these deformations was in part determined in the Kazhdan-Lusztig analysis of irreducible characters; more complete information comes from the Beilinson-Bernstein proof of the Jantzen conjectures. Our algorithm traces the signature of the form through this deformation, counting changes at reducibility points. An important tool is Weyl’s “unitary trick:” replacing the classical invariant Hermitian form (where Lie(G) acts by skew-adjoint operators) by a new one (where a compact form of Lie(G) acts by skew-adjoint operators). Résumé (Représentations unitaires des groupes de Lie réductifs) Nous présentons un algorithme pour le calcul des représentations unitaires irréductibles d’un groupe de Lie réductif réel G. La classification de Langlands, dans sa formulation par Knapp et Zuckerman, présente toute représentation hermitienne comme étant la déformation d’une représentation unitaire intervenant dans la formule de Plancherel. Le comportement de ces déformations est en partie déterminé par l’analyse de Kazhdan-Lusztig des caractères irréductibles; une information plus complète provient de la preuve par Beilinson-Bernstein des conjectures de Jantzen. Notre algorithme trace à travers cette déformation les changements de la signature de la forme qui peuvent intervenir aux points de réductibilité. Un outil important est “l’astuce unitaire” de Weyl: on remplace la forme hermitienne classique (pour laquelle Lie(G) agit par des opérateurs antisymétriques) par une forme hermitienne nouvelle (pour laquelle c’est une forme compacte de Lie(G) qui agit par des opérateurs antisymétriques). 2000 Mathematics Subject Classification. — 22E46, 20G05, 17B15.